Question

如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜邊AB與y軸交于點C．
（1）若∠A=∠AOC，求證：∠B=∠BOC；

（2）延長AB交x軸于點E，過O作OD⊥AB，且∠DOB=∠EOB，∠OAE=∠OEA，求∠A度數；
（3）如圖，OF平分∠AOM，∠BCO的平分線交FO的延長線于點P，當△ABO繞O點旋轉時（斜邊AB與y軸正半軸始終相交于點C），在（2）的條件下，試問∠P的度數是否發生改變？若不變，請求其度數；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證∠B與∠BOC分別是∠A與∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以證出；
（2）易證∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，且∠DOB=∠EOB=∠OEA就可以得到；
（3）∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）根據角平分線的定義，就可以求出．

解答：解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°．
∵∠A=∠AOC，
∴∠B=∠BOC；

（2）∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，
∴∠A=∠DOB即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA．
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，
∴∠DOB=30°，
∴∠A=30°；

（3）∠P的度數不變，∠P=30°，
∵∠AOM=90°-∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，
∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，
∴∠FOM=

1

2

∠AOM=

1

2

（90°-∠AOC）=45°-

1

2

∠AOC，∠PCO=

1

2

∠BCO=

1

2

（∠A+∠AOC）=

1

2

∠A+

1

2

∠AOC．
∴∠P=180°-（∠PCO+∠FOM+90°）
=45°-

1

2

∠A
=30°．

點評：本題主要考查了角平分線的定義和直角三角形的性質．