Question

【題目】某牛奶公司計劃在三棟樓之間建一個取奶站，三棟樓在一條直線上，順次為A樓、B樓、C樓，其中A樓與B樓之間的距離為40米，B樓與C樓之間的距離為60米、已知A樓每天有20人取奶，B樓每天有70人取奶，C樓每天有60人取奶，公司提出兩種建站方案：

方案一：讓每天所有取奶的人到奶站的距離最小；

方案二：讓每天A樓與C樓所有取奶的人到奶站的距離之和等于B樓所有取奶的人到奶站的距離之和，

（1）若按第一種方案建站，取奶站應建在什么位置？

（2）若按方案二建站，取奶站應建在什么位置？

（3）在（2）的情況下，若A樓每天取奶的人數增加，增加的人數不超過22人，那么取奶站將離B樓越來越遠，還是越來越近？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 按方案一建奶站，取奶站應建在B處；(2) 按方案二建奶站，取奶站建在距A樓80米處．(3) 當A樓取奶的人數增加時，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C兩樓之間，且隨著人數的增加，離B樓越來越遠．

【解析】試題分析：（1）設取奶站建在距A樓x米處，所有取奶的人到奶站的距離總和為y米，求出在各函數在自變量下的最小值，（2）設取奶站建在距A樓x米處，列出等量關系式，解得x．

（3）設A樓取奶人數增加a人，在各個自變量下，解得x與a的關系．

試題解析：解：（1）設取奶站建在距A樓x米處，所有取奶的人到奶站的距離總和為y米．

①當0≤x≤40時，y=20x+70（40﹣x）+60（100﹣x）=﹣110x+8800

∴當x=40時，y的最小值為4400，

②當40＜x≤100，y=20x+70（x﹣40）+60（100﹣x）=30x+3200

此時，y的值大于4400

因此按方案一建奶站，取奶站應建在B處；

（2）設取奶站建在距A樓x米處，

①0≤x≤40時，20x+60（100﹣x）=70（40﹣x）

解得x=﹣＜0（舍去）

②當40＜x≤100時，20x+60（100﹣x）=70（x﹣40）

解得：x=80

因此按方案二建奶站，取奶站建在距A樓80米處．

（3）設A樓取奶人數增加a人

①當0≤x≤40時，（20+a）x+60（100﹣x）=70（40﹣x）

解得x=﹣（舍去）．

②當40＜x≤100時，（20+a）x+60（100﹣x）=70（x﹣40），

解得x=．

∴當a增大時，x增大．

∴當A樓取奶的人數增加時，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C兩樓之間，且隨著人數的增加，離B樓越來越遠．