Question

已知直線l與⊙O交于不同的兩點E，F，CD是⊙O的直徑，CA⊥l，DB⊥l，垂足分別為A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，試問在線段AB上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與以點P，B，D為頂點的三角形相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）若l與直徑CD不相交，如圖所示，

（i）作OH⊥AB于H，易得AE=BF，此時△ACE∽△BED，△AFC∽△BDF，
則E，F為滿足的點，故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
（ii）若除E，F外還存在點P使△APC∽△BPD，設AC=x，BD=y，則y-x=1，
∵Rt△ACE∽Rt△BED，故

x

AE

=

EB

y

，得xy=6
于是x=2，y=3或x=-3，y=-2（舍去）
∵△APC∽△BPD，故

AP

AC

=

BP

BD

，即

AP

2

=

7-AP

3

，解得AP=

14

5

，
故存在第三個滿足條件的點P，且AP=

14

5

．
綜合（i），（ii），滿足條件的點有三個，AP的長分別為1，6，

14

5

．

（2）若l與直徑CD相交，且交點為Q，如圖
（i）由∠AQC=∠DQB，得Rt△ACQ∽Rt△BDQ，則點Q為滿足條件的點，
設AC=x，BD=y，則y-x=1，
又∠DEB=∠ECA，則Rt△ACE∽Rt△BED，
故

AC

BE

=

AE

BD

，得xy=8，
于是，x=

33 -1

2

，y=

33 +1

2

或x=

- 33 -1

2

，y=

- 33 +1

2

（舍去）
∵Rt△ACQ∽Rt△BDQ，∴

AQ

QB

=

AC

BD

，解得AQ=

231-7 33

66

．
（ii）若除Q外，還存在點P，使△APC∽△BDP，則

AP

BD

=

AC

PB

，
整理得AP²-7AP+8=0，解得AP=

7± 17

2

．
綜合（i），（ii），滿足條件的點P有三個，AP的長分別為

231-7 33

66

，

7+ 17

2

，

7- 17

2

．
所以，綜合（1）（2）可得，滿足條件的點共有6個．AP的長度為：
1，6，

14

5

，

231-7 33

66

，

7+ 17

2

，

7- 17

2

．