Question

【題目】定義：若某拋物線上有兩點A、B關(guān)于原點對稱，則稱該拋物線為“完美拋物線”.已知二次函數(shù)（a,m,c均為常數(shù)且ac）是“完美拋物線”：

（1）試判斷ac的符號；

（2）若c＝－1,該二次函數(shù)圖像與y軸交于點C，且.

①求a的值；

②當(dāng)該二次函數(shù)圖像與端點為M(－1，1)、N(3，4)的線段有且只有一個交點時，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）ac＜0；

（2）①a的值為1；

②m的取值范圍是或

【解析】（1）首先設(shè)A點的坐標(biāo)是（p，q），根據(jù)A，B關(guān)于原點對稱，判斷出B點的坐標(biāo)是（-p，-q）；然后根據(jù)A，B都是拋物線上的點,代入求解即可；

（2）①.故a＝1.

②由①可知：拋物線解析式為.MN： ().

依題，只需聯(lián)立在內(nèi)只有一個解即可.

試題解析：(1)設(shè)A (p，q).則B (－p，－q).把A、B坐標(biāo)代入解析式可得：

.

∴.即.

∴.

∵ac.

∴.

∴ac＜0.

(2)∵c＝－1.∴，a＞0，且C(0，－1).∴.

①.∴a＝1.

②由①可知：拋物線解析式為.∵M(－1，1)、N(3，4).

∴MN： ().

依題，只需聯(lián)立在內(nèi)只有一個解即可.

∴.故問題轉(zhuǎn)化為：方程在內(nèi)只有一個解.

建立新的二次函數(shù)： .∵且.

∴拋物線與x軸有兩個交點，且交y軸于負半軸.

問題進一步轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸的兩個交點中，只能有一個點落在以P（－1,0）、Q(3，0)為端點的線段PQ上.

分情況討論：

㈠當(dāng)拋物線與x軸的左交點落在線段PQ上.則右交點在PQ的延長線上.如圖(1)：

則對于函數(shù)有 即： ，

解得： .

㈡當(dāng)拋物線與x軸的右交點落在線段PQ上.則左交點在QP的延長線上.如圖(2)：

則對于函數(shù)有

即： ，解得： .

綜上所述， 或.