Question

【題目】在直角三角形ABC中，∠C=90°，點O為AB上的一點，以點O為圓心，OA為半徑的圓弧與BC相切于點D，交AC于點E，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）已知AE=2，DC=，求圓弧的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】試題分析：（1）根據切線的性質可得OD⊥BC，即得∠ODB=∠C=90°，則可得OD∥AC，根據平行線的性質可得∠ODA=∠CAD，根據圓的基本性質可得∠ODA=∠OAD，問題得證；

（2）過O作OH⊥AC于H，根據垂徑定理可得，由OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°可求得OH=DC=，在Rt△ABC中，根據勾股定理即可求得結果.

（1）∵OA為半徑的圓弧與BC相切于點D

∴OD⊥BC

∴∠ODB=∠C=90°

∴OD∥AC

∴∠ODA=∠CAD

又∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD

∴∠CAD=∠OAD

∴AD平分∠BAC；

（2）過O作OH⊥AC于H

∴

∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，

∴OH=DC=

∴在Rt△ABC中，圓弧的半徑OA=．