Question

△ABC是等邊三角形，D是三角形外一動點，滿足∠ADB=60°．
（1）如圖①，當D點在AC的垂直平分線上時，求證：DA+DC=DB；
（2）如圖②，當D點不在AC的垂直平分線上時，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由D點在AC的垂直平分線上，可得AD=CD，又由∠ADB=60°，△ABC是等邊三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，繼而證得結論；
（2）首先在DB上截取DE=AD，可證得△ADE是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，易證得△BAE≌△CAD（SAS），繼而證得結論．

解答：證明：（1）∵D點在AC的垂直平分線上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°，
∴BD=2AD=AD+CD；

（2）成立．
理由：在DB上截取DE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，
∴BD=DE+BE=AD+CD．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．