Question

【題目】如圖，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合）．

（1）如圖1，若∠MON=90°，∠OBA、∠OAB的平分線交于點C，則∠ACB= °；
（2）如圖2，若∠MON=n°，∠OBA、∠OAB的平分線交于點C，求∠ACB的度數；
（3）如圖2，若∠MON=n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分線交于點D，求∠ACB與∠ADB之間的數量關系，并求出∠ADB的度數；
（4）如圖3，若∠MON=80°，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點E．試問：隨著點A、B的運動，∠E的大小會變嗎？如果不會，求∠E的度數；如果會，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）135；（2）90°+n°；（3）90°-n°；（4）40°

【解析】

（1）由三角形內角和定理得出∠OBA+∠OAB=90°，由角平分線的也得出∠ABC+∠BAC=×90°=45°，再由三角形內角和定理即可得出結果；

（2）由三角形內角和定理和角平分線的也得出∠ABC+∠BAC=90°-n°，再由三角形內角和定理得出∠ACB的度數；

（3）求出∠CBD=90°，同理∠CAD=90°，由四邊形內角和求出∠ACB+∠ADB=180°，由（1）知：∠ACB=90°+n°，即可得出結果；

（4）由三角形外角性質得出∠OAB=∠NBA-∠AOB，由角平分線定義得出∠NBA=∠E+∠OAB，∠NBA=∠E+（∠NBA-80°），∠NBA=∠E+∠NBA-40°，即可得出結果．

（1）∵∠MON=90°，

∴∠OBA+∠OAB=90°，

∵∠OBA、∠OAB的平分線交于點C，

∴∠ABC+∠BAC=×90°=45°，

∴∠ACB=180°-45°=135°；

故答案為：135；

（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB=180°-∠AOB=180°-n°，

∵∠OBA、∠OAB的平分線交于點C，

∴∠ABC+∠BAC=（∠OBA+∠OAB）=（180°-n°），

即∠ABC+∠BAC=90°-n°，

∴∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=180°-（90°-n°）=90°+n°；

（3）∵BC、BD分別是∠OBA和∠NBA的角平分線，

∴∠ABC=∠OBA，∠ABD=∠NBA，

∠ABC+∠ABD=∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD=（∠OBA+∠NBA）=90°，

即∠CBD=90°，

同理：∠CAD=90°，

∵四邊形內角和等于360°，

∴∠ACB+∠ADB=360°-90°-90°=180°，

由（1）知：∠ACB=90°+n°，

∴∠ADB=180°-（90°+n°）=90°-n°，

∴∠ACB+∠ADB=180°，∠ADB=90°-n°；

（4）∠E的度數不變，∠E=40°；理由如下：

∵∠NBA=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=∠NBA-∠AOB，

∵AE、BC分別是∠OAB和∠NBA的角平分線，

∴∠BAE=∠OAB，∠CBA=∠NBA，

∠CBA=∠E+∠BAE，即∠NBA=∠E+∠OAB，

∠NBA=∠E+（∠NBA-80°），

∠NBA=∠E+∠NBA-40°，

∴∠E=40°．