Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=60°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合）， BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．
（1）求∠CBD的度數；
（2）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律．
（3）當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，∠ABC的度數是？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABN=120°，

∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP= ∠ABP，∠DBP= ∠NBP，

∴∠CBD= ∠ABN=60°；

（2）解：不變化，∠APB=2∠ADB，

證明：∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，

∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB=2∠ADB；

（3）解：∵AD∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，

∴∠ABC= （120°﹣60°）=30°，

故答案為：30°．

【解析】（1）先根據平行線的性質，得出∠ABN=120°，再根據BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，即可得出∠CBD的度數；（2）根據平行線的性質得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再根據BD平分∠PBN，即可得到∠PBN=2∠DBN進而得出∠APB=2∠ADB；（3）根據∠ACB=∠CBN，∠ACB=∠ABD，得出∠CBN=∠ABD，進而得到∠ABC=∠DBN，根據∠CBD=60°，∠ABN=120°，可求得∠ABC的度數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質的相關知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．