Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE與⊙O相切；

（2）延長DE交BA的延長線于點F，若AB＝8，sinB＝，求線段FA的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）FA＝．

【解析】

（1）要想證DE是⊙O的切線，只要連接OD，求證∠ODE＝90°即可；

（2）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據三角函數的定義得到AD＝ABsinB＝，求得∠B＝∠ADE，得到sinB＝sin∠ADE＝＝，求得AE＝AD＝×＝，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）連接OD，則OD＝OB，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC．

∴∠ODE＝∠DEC＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝8，sinB＝，

∴AD＝ABsinB＝，

∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，

∴∠BDO＝∠ADE，

∴∠B＝∠ADE，

∴sinB＝sin∠ADE＝＝，

∴AE＝AD＝×＝，

∵OD∥AE，

∴△FAE∽△FOD，

∴，

∵AB＝8，

∴OD＝AO＝4，

∴＝

∴FA＝．