Question

【題目】已知，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BD平分∠ ABC，∠CAD=45， AC=4，點E是線段BD的中點，則CE的最小值為 ．

Answer 1

【答案】-1.
【解析】∵∠ABC=90°，
∴點A、B、C三點共圓，AC是直徑，
又∵ BD平分∠ ABC，
∴∠DBC=45°，且∠CAD=45°，
∴點D也在點A、B、C三點所確定的圓上，
即點A、B、C、D四點共圓.
如下圖：設此圓為圓O.

當點B與點A重合時，點E在AD的中點M處，點B與點C重合時，點E在DC的中點N處，
∴當點E的運動軌跡是以MN的中點O'為圓心，以O'O=O'M=O'N為半徑的圓的一部分，

∴當點E運動到CE所在的直線過圓心O'時，CE有最小值，
此時：連接O'O，MN，O'E，
∵AC是直徑， AC=4，且∠CAD=45°，M、N分別是AD、DC中點
∴ADC是等腰直角三角形，O'O⊥AC，O'O=O'M=O'N=1，
在RtO'OC中，O'C==,
∴CE=O'C-O'N=-1.
所以答案是：-1.
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．