Question

【題目】如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為（8，3），定點D的坐標為（12，0），動點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，PQ兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設運動時間為t秒．

（1）當t=　 　時，△PQR的邊QR經過點B；

（2）設△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式；

（3）如圖2，過定點E（5，0）作EF⊥BC，垂足為F，當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內部時，過點R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)1秒

(2)

(3)t的值為（8﹣2）

【解析】試題分析：（1）△PQR的邊QR經過點B時，△ABQ構成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t的值；

（2）在圖形運動的過程中，有三種情形，需要分類討論，避免漏解；

（3）由已知可得ABFE為正方形；其次通過旋轉，由三角形全等證明MN=EM+BN；設EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）﹣9=0，由此等式列方程求出時間t的值．

試題解析：（1）△PQR的邊QR經過點B時，△ABQ構成等腰直角三角形，

∴AB=AQ，即3=4﹣t，

∴t=1．

即當t=1秒時，△PQR的邊QR經過點B．

（2）①當0≤t≤1時，如答圖1﹣1所示．

設PR交BC于點G，

過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．

S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC

=8×3﹣（2t+2t+3）×3

=﹣6t+；

②當1＜t≤2時，如答圖1﹣2所示．

設PR交BC于點G，RQ交BC、AB于點S、T．

過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．

QD=t，則AQ=AT=4﹣t，

∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣（4﹣t）=t﹣1．

S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST

=8×3﹣（2t+2t+3）×3﹣（t﹣1）2

=﹣t2﹣5t+19；

③當2＜t≤4時，如答圖1﹣3所示．

設RQ與AB交于點T，則AT=AQ=4﹣t．

PQ=12﹣3t，∴PR=RQ=（12﹣3t）．

S=S△PQR﹣S△AQT

=PR2﹣AQ2

=（12﹣3t）2﹣（4﹣t）2

=t2﹣14t+28．

綜上所述，S關于t的函數關系式為：

．

（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，

∴四邊形ABFE是正方形．

如答圖2，將△AME繞點A順時針旋轉90°，得到△ABM′，其中AE與AB重合．

∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，

∴∠BAM′+∠NAB=45°，

∴∠MAN=∠M′AN．

連接MN．在△MAN與△M′AN中，

∴△MAN≌△M′AN（SAS）．

∴MN=M′N=M′B+BN

∴MN=EM+BN．

設EM=m，BN=n，則FM=3﹣m，FN=3﹣n．

在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3﹣m）2+（3﹣n）2=（m+n）2，

整理得：mn+3（m+n）﹣9=0． ①

延長MR交x軸于點S，則m=EM=RS=PQ=（12﹣3t），

∵QS=PQ=（12﹣3t），AQ=4﹣t，

∴n=BN=AS=QS﹣AQ=（12﹣3t）﹣（4﹣t）=﹣t+2．

∴m=3n，

代入①式，化簡得：n2+4n﹣3=0，

解得n=﹣2+或n=﹣2﹣（舍去）

∴2﹣t=﹣2+

解得：t=8﹣2．

∴若∠MAN=45°，則t的值為（8﹣2）秒．