Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB：yx+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．直線CD：yx﹣1與直線AB相交于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是射線MD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PBM的面積是S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）當(dāng)S＝20時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B、E、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），D（0，－1）；（2）S（x＞－5）；（3）存在，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，）或（﹣8，）或（﹣2，）．

【解析】

（1）利用y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再分兩種情況討論：①當(dāng)P在y軸右邊時(shí)，用三角形的面積之和即可得出結(jié)論，②當(dāng)P在y軸左邊時(shí)，用三角形的面積之差即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法即可得出結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)B是直線AB：yx+4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，∴B（0，4）．

∵點(diǎn)D是直線CD：yx﹣1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，∴D（0，﹣1）；

（2）如圖1．由 ，解得：．

∵直線AB與CD相交于M，∴M（﹣5，）．

∵B（0，4），D（0，﹣1），∴BD＝5．

∵點(diǎn)P在射線MD上，∴分兩種情況討論：

①當(dāng)P在y軸右邊時(shí)，即x≥0時(shí)，S＝S△BDM+S△BDP5（5+x）；

②當(dāng)P在y軸左邊時(shí)，即－5＜x＜0時(shí)，S＝S△BDM－S△BDP5（5-|x|）；

綜上所述：S=（x＞－5）．

（3）如圖2，由（1）知，S，當(dāng)S＝20時(shí)，20，∴x＝3，∴P（3，﹣2）．

分三種情況討論：

①當(dāng)BP是對(duì)角線時(shí)，取BP的中點(diǎn)G，連接MG并延長(zhǎng)取一點(diǎn)E'使GE'＝GM，設(shè)E'（m，n）．

∵B（0，4），P（3，﹣2），∴BP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．

∵M（﹣5，），∴1，∴m＝8，n，∴E'（8，）；

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，同①的方法得：E（﹣8，）；

③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí)，同①的方法得：E'（﹣2，）．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，）、（﹣8，）、（﹣2，）．