Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】 ﹣2≤BE＜3
【解析】解：如圖，
由題意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC為直徑的⊙M的 上（不含點C、可含點N），
∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴ = ，即 ，得MF= ，
∴AF= = ，
則BF=AB﹣AF= ，
∴BM= = ，
∴BE長度的最小值BE′=BM﹣ME′= ﹣2，
BE最長時，即E與C重合，
∵BC=3，且點E與點C不重合，
∴BE＜3，
綜上， ﹣2≤BE＜3，
所以答案是： ﹣2≤BE＜3．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．