Question

【題目】如圖，已知四邊形為正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作.交于點，以、為鄰邊作矩形，連接.

（1）求證：矩形是正方形；

（2）探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）是定值，8

【解析】

（1）過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，即可得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE=EF即可；
（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=8即可．

（1）如圖所示，過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，

∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，
∴四邊形EMCN為正方形，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，

∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG為正方形，
（2）CE+CG的值為定值，理由如下：
∵矩形DEFG為正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=AB=×4=8，
∴CE+CG=8是定值．