Question

如圖，已知拋物線m的解析式為y=x²-4，與x軸交于A、C兩點，B是拋物線m上的動點（B不與A、C重合），且B在x軸的下方，拋物線n與拋物線m關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D．
（1）求證：點D一定在拋物線n上．
（2）平行四邊形ABCD能否為矩形？若能為矩形，求出這些矩形公共部分的面積（若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積）；若不能為矩形，請說明理由．
（3）若（2）中過A、B、C、D的圓交y軸于E、F，而P是弧CF上一動點（不包括C、F兩點），連接AP交y軸于N，連接EP交x軸于M．當P在運動時，四邊形AEMN的面積是否改變？若不變，則求其面積；若變化，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：設n的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵n與x軸的交點為A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，-4），m與n關于x軸對稱，
∴m過A（-2，0），C（2，0），頂點坐標是（0，4），
∴

4a-2b+c=0 4a+2b+c=0 c=4

∴a=-1，b=0，c=4，
即n的解析式為y=-x²+4，
設點B（m，n）為m：y=x²-4上任意一點，則n=m²-4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關于原點O對稱，
∴B、D關于原點O對稱，
∴點D的坐標為D（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即點D的坐標滿足y=-x²+4，
∴點D在n上．

（2）?ABCD能為矩形．
過點B作BH⊥x軸于H，由點B在m：y=x²-4上，可設點B的坐標為（x₀，x₀²-4），
則OH=|x₀|，BH=|x₀²-4|．
易知，當且僅當BO=AO=2時，?ABCD為矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x₀|²+|x₀²-4|²=2²，
（x₀²-4）（x₀²-3）=0，
∴x₀=±2（舍去）、x₀=±

3

．（7分）
所以，當點B坐標為B（

3

，-1）或B′（-

3

，-1）時，?ABCD為矩形，
此時，點D的坐標分別是D（-

3

，1）、D′（

3

，1）．
因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．

（3）設直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB，
∴

EO

AO

=

BH

AH

，
∴

EO

2

=

1

2+ 3

．
∴EO=4-2

3

．
由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為
S=2S_△ACE=2×

1

2

×AC×EO=2×

1

2

×4×（4-2

3

）=16-8

3

．即四邊形AEMN的面積不改變，為16-8

3

．