Question

如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

（1）∵直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B兩點的坐標分別代入y=x²+bx+c得：

1+b+c=0 c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

．
∴拋物線解析式為：y=x²+2x-3．

（2）令y=0得：0=x²+2x-3，
解得：x₁=1，x₂=-3，
則C點坐標為：（-3，0），AC=4，
故可得S_△ABC=

1

2

AC×OB=

1

2

×4×3=6．

（3）存在，理由如下：
拋物線的對稱軸為：x=-1，假設存在M（-1，m）滿足題意：
討論：
①當MA=AB時，
∵OA=1，OB=3，
∴AB=

10

，

22+m2

=

10

，
解得：m=±

6

，
∴M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

）；
②當MB=BA時，

12+(m+3)2

=

10

，
解得：M₃=0，M₄=-6，
∴M₃（-1，0），M₄（-1，-6）（不合題意舍去），
③當MB=MA時，

22+m2

=

12+(m+3)2

，
解得：m=-1，
∴M₅（-1，-1），
答：共存在4個點M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

），M₃（-1，0），M₄（-1，-1）使△ABM為等腰三角形．