Question

問題：你能比較兩個數2012²⁰¹³與2013²⁰¹²的大小嗎為了解決這個問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。�即是自然數）．然后，我們分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從而發現規律，經過歸納，才想出結論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數的大小
①1²

＜

2¹  ②2³

＜

3²    ③3⁴

＞

4³    ④4⁵

＞

5⁴
⑤5⁶

＞

6⁵  ⑥6⁷

＞

7⁶
（2）從第（1）題的結果經過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系；
（3）根據下面歸納猜想得到的一般結論，試比較下列兩個數的大小：2012²⁰¹³

＞

2013²⁰¹²．

Answer 1

分析：（1）根據有理數的乘方分別計算即可比較出大小；
（2）根據n的取值范圍討論解答；
（3）根據（2）的結論判斷出大小．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴；
⑤∵5⁶=15625，6⁵=7776，
∴5⁶＞6⁵；
⑥∵6⁷=279936，7⁶=117649，
∴6⁷＞7⁶；

（2）n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2012＞3，
∴2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．
故答案為：（1）＜、＜、＞、＞、＞、＞；（3）＞．

點評：本題考查了有理數的乘方，有理數的大小比較，熟記乘方的概念并準確計算是解題的關鍵．