Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC，AC于D，E兩點，過點D作⊙O的切線，交AC于點F，交AB的延長線于點G．

（1）求證：EF=CF；

（2）若cos∠ABC=，AB=10，求線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）連接AD，若要證明EF=CF，則可轉化為證明∠C=∠DEC即可.

（2）將三角形函數值轉化為邊之比，再利用三角形的面積即可求解．

（1）證明：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

∵AO=OB，

∴OD=AC，OD∥AC，

∵DF為⊙O的切線，

∴OD⊥DF，

∴AC⊥DF，

∵A、B、D、E四點共圓，

∴∠DEC=∠ABD，

∵AB=AC，

∴∠ABD=∠ACB，

∴∠DEC=∠ACB，

∴DE=DC，

∴EF=CF；

（2）Rt△ABD中，cos∠ABC==，

∵AB=10，

∴BD=6，AC=10，

∴DC=BD=6，

S△ACD=CDAD=ACDF，

10DF=6×8，

DF=，

由勾股定理得：AF=．