Question

【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,D為⊙O上一點,DE是⊙O的切線,DE⊥AC交AC的延長線于點E,FB是⊙O的切線交AD的延長線于點F.

（1）求證:AD平分∠BAC;

（2）若DE＝3,⊙O的半徑為5,求BF的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;（2）BF=．

【解析】

試題分析:（1）連接BC、OD,由D是弧BC的中點,可知:OD⊥BC;由OB為⊙O的直徑,可得:BC⊥AC,根據DE⊥AC,可證OD⊥DE,從而可證DE是⊙O的切線;

（2）在Rt△ABC中,運用勾股定理可將愛那個AC的長求出,運用切割線定理可將AE的長求出,根據△AED∽△ABF,可將BF的長求出．

試題解析:（1）連接OD,BC,OD與BC相交于點G,

∵D是弧BC的中點,

∴OD垂直平分BC,

∵AB為⊙O的直徑,

∴AC⊥BC,

∴OD∥AE．

∵DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∵OD為⊙O的半徑,

∴DE是⊙O的切線．

（2）由（1）知:OD⊥BC,AC⊥BC,DE⊥AC,

∴四邊形DECG為矩形,

∴CG=DE=3,

∴BC=6．

∵⊙O的半徑為5,

∴AB=10,

∴AC==8,

由（1）知:DE為⊙O的切線,

∴DE2=ECEA,即32=（EA﹣8）EA,

解得:AE=9．

∵D為弧BC的中點,

∴∠EAD=∠FAB,

∵BF切⊙O于B,

∴∠FBA=90°．

又∵DE⊥AC于E,

∴∠E=90°,

∴∠FBA=∠E,

∴△AED∽△ABF,

∴,

∴BF=．

考點:1.切線的判定,2.勾股定理,3.圓周角定理,4.相似三角形的判定與性質．