Question

【題目】如圖，將兩個全等的直角三角尺ABC和ADE如圖擺放，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠DEA＝30°，使點D落在BC邊上，連結EB，EC，則下列結論：①∠DAC＝∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④△ACE為等邊三角形．其中正確的是（　　）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

先利用旋轉的性質得到AB＝AC，AC＝AE，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，則∠EAC＝∠BAD＝60°，再計算出∠DAC＝30°，于是可對①進行判斷；接著證明△AEC為等邊三角形得到EA＝EC，得出④正確，加上DA＝DC，則根據線段垂直平分線的判定方法可對②進行判斷；然后根據平行線和等腰三角形的性質，則可對③進行判斷；即可得出結論．

解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵△ABC≌△ADE，

∴AB＝AD，AC＝AE，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠BAD＝∠ADB＝60°，

∵∠CAB＝∠DAE＝90°

，

∴∠EAC＝∠BAD＝60°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAC＝30°＝∠ACB，

∴∠DAC＝∠DCA，①正確；

∵AC＝AE，∠EAC＝60°，

∴△ACE為等邊三角形，④正確；

∴EA＝EC，

而DA＝DC，

∴ED為AC的垂直平分線，②正確；

∴DE⊥AC，

∵AB⊥AC，

∴AB∥DE，

∴∠ABE＝∠BED，

∵AB≠AE，

∴∠ABE≠∠AEB，

∴∠AEB≠∠BED，

∴EB平分∠AED不正確，故③錯誤；

故選：B．