Question

【題目】如圖，直線l1：y＝kx+b與雙曲線y＝（x＞0）交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，已知點(diǎn)A（1，3），點(diǎn)C（4，0）．

（1）求直線l1和雙曲線的解析式；

（2）將△OCE沿直線l1翻折，點(diǎn)O落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)H處，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）如圖，過點(diǎn)E作直線l2：y＝3x+4交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F，在直線l2上是否存在點(diǎn)P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4，y＝（x＞0）；（2）H（4，4）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，1）或（1，7）．

【解析】

（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）證明OC＝OE＝4，由翻折得△CEH≌△CEO，進(jìn)而證明四邊形OCHE是正方形，即可求解；

（3）過點(diǎn)O作直線m∥BC交直線l2于點(diǎn)P′，在x軸取點(diǎn)H，使OC＝CH（即等間隔），過點(diǎn)H作直線n∥BC交直線l2于點(diǎn)P，則點(diǎn)P（P′）為所求點(diǎn)，即可求解．

解：（1）將A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，

∴直線l1的解析式為y＝﹣x+4．

將A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，

∴雙曲線的解析式為y＝（x＞0）；

（2）將x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，

∴E（0，4）．

∴△COE是等腰直角三角形．

∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．

由翻折得△CEH≌△CEO，

∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．

∴四邊形OCHE是正方形．

∴H（4，4）；

（3）存在，理由：

如圖，過點(diǎn)O作直線m∥BC交直線l2于點(diǎn)P'，

在x軸取點(diǎn)H，使OC＝CH（即等間隔），過點(diǎn)H作直線n∥BC交直線l2于點(diǎn)P，

S△PBC＝S△OBC，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，則點(diǎn)P（P'）為所求點(diǎn)．

直線BC表達(dá)式中的k值為﹣1，則直線m、n表達(dá)式中的k值也為﹣1，

故直線m的表達(dá)式為：y＝﹣x①，

直線l2的表達(dá)式為：y＝3x+4②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣1，y＝1，故點(diǎn)P'（﹣1，1）；

設(shè)直線n的表達(dá)式為：y＝﹣x+s，而點(diǎn)H（8，0），

將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入上式并解得：s＝8，

故直線n的表達(dá)式為：y＝﹣x+8③，

聯(lián)立②③并解得：x＝1，y＝7，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，7）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，1）或（1，7）．