Question

【題目】將線段繞點逆時針旋轉角度得到線段，連接得，又將線段繞點逆時針旋轉得線段（如圖①）．

求的大小（結果用含的式子表示）；

又將線段繞點順時針旋轉得線段，連接（如圖②）求；

連接、，試探究當為何值時，．

Answer 1

【答案】(1);(2)； (3) 當為時，．

【解析】

（1）由于線段AB繞點A逆時針旋轉角度α（0°<α<60°）得到線段AC，根據旋轉的性質得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到 再由線段BC繞點B逆時針旋轉60°得線段BD，根據旋轉的性質得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC-∠CBD進行計算；
（2）由線段AB繞點B順時針旋轉60°得線段BE，根據旋轉的性質得AB=AE，∠BAE=60°，則AC=AE，∠CAE=60°-α，利用等腰三角形的性質和三角形內角和得到 然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE計算得到∠BCE=150°；
（3）由線段BC繞點B逆時針旋轉60°得線段BD，根據旋轉的性質得BC=BD，∠CBD=60°，則可判斷△BCD為等腰直角三角形，則∠BCD=60°，CD=BC，
所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC為等腰直角三角形，則CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”證明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以

∵線段繞點逆時針旋轉角度得到線段，

∴，，

∴，

∴，

∵線段繞點逆時針旋轉得線段，

∴，

∴；

∵線段繞點順時針旋轉得線段，

∴，，

∴，，

∴，

∴；如圖②，

∵線段繞點逆時針旋轉得線段，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

即，

當為時，．