Question

【題目】如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：　 　；

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：　 　個；

（3）圖2中，當∠D＝40°，∠B＝30°度時，求∠P的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝35°

【解析】

（1）利用三角形的內角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據對頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；

（3）利用（1）中結論解決問題即可．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，

∴∠A+∠D＝∠C+∠B；

故答案為∠A+∠D＝∠C+∠B．

（2）故“8字形”共有6個，

故答案為6．

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，

①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P＝∠D+∠B，

又∵∠D＝50度，∠B＝40度，

∴2∠P＝40°+30°，

∴∠P＝35°．