Question

【題目】（本小題滿分9分）如圖，在中，∠A=90°，AB=AC=4 cm，若O是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在AB上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在AC上移動(dòng)，且AN=BM ．

（1）證明：OM = ON；

（2）在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AMON的面積是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)你求出四邊形AMON的面積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）連接OA（如圖）.

∵在RtABC中，AB=AC，∴ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，即∠ABO=45°.（2分）

∵O是BC的中點(diǎn)，且ABC是等腰直角三角形，

∴AO⊥BC，

∴在AOB中，∠OAB=90°∠ABO=90°45°=45°，

∴∠OAB=∠ABO，

∴OA=OB，

∵O是BC的中點(diǎn)，且是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴，

∴∠OAC=∠ABO=45°，即∠OAN=∠OBM，（3分）

∵在與中

，

∴，

∴ON=OM，即OM=ON.（5分）

（2）在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AMON的面積不變.（6分）

理由如下：

連接OA.

由第（1）小題的證明可知：，

∴△OAN的面積等于的面積，

∵四邊形AMON的面積等于的面積與的面積之和，

∴四邊形AMON的面積等于的面積與的面積之和，

∵的面積與的面積之和等于的面積，

∴四邊形AMON的面積等于的面積，

∵O是BC的中點(diǎn)，且是等腰直角三角形，

∴△OAB的面積等于的面積的一半，（7分）

∵AB=AC=4 cm，

∴的面積為 (cm2)，

∴△OAB的面積為： (cm2)，

∴四邊形AMON的面積為4 cm2.（9分）