Question

已知：如圖，圓O₁與圓O₂外切于點P，經過圓O₁上一點A作圓O₁的切線交圓O₂于B、C兩點，直線AP交圓O₂于點D，連接DC、PC．
（1）求證：DC²=DP•DA；
（2）若圓O₁與圓O₂的半徑之比為1：2，連接BD，BD=4

6

，PD=12，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）相切兩圓常作的輔助線是：兩圓的公切線，因此過點P作兩圓的內公切線EP交AB于點F，然后證得△CDP∽△ADC，可證DC²=DP•DA；
（2）求AB的長時，由（1）知△CDP∽△ADC，可得

PC

AC

=

CD

AD

．還可得出DP=2PA，DC=BD．再根據切割線定理得：AP•AD=AB•AC，由此可求出AB的長．

解答：（1）證明：過點P作兩圓的內公切線EP交AB于點F，
∵FE、CA都與圓O₁相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴

CD

AD

=

DP

CD

；
∴DC²=DP•DA．

（2）解：連接O₁O₂，則點P在O₁O₂上，連接O₁A、O₂D，
∵O₁A=O₁P，
∴∠O₁AP=∠O₁PA；
又∵O₂P=O₂D，
∴∠O₂DP=∠O₂PD，
∴∠O₁AP=∠O₂DP；
∴O₁A∥O₂D，
∴

PA

PD

=

O1P

O2P

=

1

2

；
∴DP=2PA，
∵DP=12
∴PA=6，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，

PC

AC

=

CD

AD

；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4

6

；
∵DP=12，AP=4，
∴AD=AP+DP=16；
∴

12

AC

=

4 6

16

，
∴AC=48

6

．
由AP•AD=AB•AC，得4×12=48

6

AB，
∴AB=

6

．

點評：此題綜合性強，將圓的有關知識與三角形相似結合考查，有一定難度；命題立意：此題主要考查相切兩圓的位置關系及切線長定理，三角形相似的判定等知識．