Question

已知：如圖，圓O₁與圓O₂外切于點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)圓O₁上一點(diǎn)A作圓O₁的切線交圓O₂于B、C兩點(diǎn)，直線AP交圓O₂于點(diǎn)D，連接DC、PC．
（1）求證：DC²=DP•DA；
（2）若圓O₁與圓O₂的半徑之比為1：2，連接BD，BD=4，PD=12，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）相切兩圓常作的輔助線是：兩圓的公切線，因此過(guò)點(diǎn)P作兩圓的內(nèi)公切線EP交AB于點(diǎn)F，然后證得△CDP∽△ADC，可證DC²=DP•DA；
（2）求AB的長(zhǎng)時(shí)，由（1）知△CDP∽△ADC，可得．還可得出DP=2PA，DC=BD．再根據(jù)切割線定理得：AP•AD=AB•AC，由此可求出AB的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作兩圓的內(nèi)公切線EP交AB于點(diǎn)F，
∵FE、CA都與圓O₁相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴；
∴DC²=DP•DA．

（2）解：連接O₁O₂，則點(diǎn)P在O₁O₂上，連接O₁A、O₂D，
∵O₁A=O₁P，
∴∠O₁AP=∠O₁PA；
又∵O₂P=O₂D，
∴∠O₂DP=∠O₂PD，
∴∠O₁AP=∠O₂DP；
∴O₁A∥O₂D，
∴=；
∴DP=2PA，
∵DP=12
∴PA=6，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4；
∵DP=12，AP=4，
∴AD=AP+DP=16；
∴，
∴AC=48．
由AP•AD=AB•AC，得4×12=48AB，
∴AB=．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性強(qiáng)，將圓的有關(guān)知識(shí)與三角形相似結(jié)合考查，有一定難度；命題立意：此題主要考查相切兩圓的位置關(guān)系及切線長(zhǎng)定理，三角形相似的判定等知識(shí)．