Question

（2013•黔東南州）已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（1，4），它與直線y₂=x+1的一個交點的橫坐標為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在給出的坐標系中畫出拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）及直線y₂=x+1的圖象，并根據圖象，直接寫出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
（3）設拋物線與x軸的右邊交點為A，過點A作x軸的垂線，交直線y₂=x+1于點B，點P在拋物線上，當S_△PAB≤6時，求點P的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出拋物線與直線的交點坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）確定出拋物線與x軸的兩個交點坐標，依題意畫出函數的圖象．由圖象可以直觀地看出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
（3）首先求出點B的坐標及線段AB的長度；設△PAB中，AB邊上的高為h，則由S_△PAB≤6可以求出h的范圍，這是一個不等式，解不等式求出x_P的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線與直線y₂=x+1的一個交點的橫坐標為2，
∴交點的縱坐標為2+1=3，即交點坐標為（2，3）．
設拋物線的解析式為y₁=a（x-1）²+4，把交點坐標（2，3）代入得：
3=a（2-1）²+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為：y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．

（2）令y₁=0，即-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴拋物線與x軸交點坐標為（3，0）和（-1，0）．
在坐標系中畫出拋物線與直線的圖形，如圖：

根據圖象，可知使得y₁≥y₂的x的取值范圍為-1≤x≤2．

（3）由（2）可知，點A坐標為（3，0）．
令x=3，則y₂=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．

設△PAB中，AB邊上的高為h，則h=|x_P-x_A|=|x_P-3|，
S_△PAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4×|x_P-3|=2|x_P-3|．
已知S_△PAB≤6，2|x_P-3|≤6，化簡得：|x_P-3|≤3，
去掉絕對值符號，將不等式化為不等式組：-3≤x_P-3≤3，
解此不等式組，得：0≤x_P≤6，
∴當S_△PAB≤6時，點P的橫坐標x的取值范圍為0≤x_P≤6．

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、三角形的面積、解不等式（組）等知識點．題目難度不大，失分點在于第（3）問，點P在線段AB的左右兩側均有取值范圍，注意不要遺漏．