Question

【題目】如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B，延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠ABE= ，求sin∠E．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵PA為⊙O的切線，

∴OA⊥PA

∴∠PAO=90°，

∵OA=OB，OP⊥AB于C，

∴BC=CA，PB=PA，

∴△PAO≌△PBO，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB為⊙O的切線；

（2）解：連接AD，

∵BD為直徑，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°

∴AD∥OP，

∴△ADE∽△POE，

∴ = ，

由AD∥OC得AD=2OC

∵tan∠ABE= ，

∴ =

設OC=t，則BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，

得PC=2BC=4t，OP=5t，

∴ = = ．

可設EA=2，EP=5，則PA=3，

∵PA=PB，

∴PB=3，

∴sin∠E= = ．

【解析】（1）要證PB是⊙O的切線，只要連接OA，再證∠PBO=90°即可；（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到 = ，設OC=t，則BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．