Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，O為AB上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓交BC于D，DE⊥AC交AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O與AC相切于點F，⊙O的半徑為2cm，AB=AC=6cm，求∠A的度數．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只需證明OD⊥DE即可；
（2）連接OF．根據切線的性質構建直角△AFO，易求AO=2OF，故由“直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”求得∠A=30°．

解答：（1）證明：連接OD，則OB=OD，
∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴OD∥AC﹒
又∵DE⊥AC，
∴半徑OD⊥DE﹒
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接OF．
∵⊙O與AC相切于點F，
∴半徑OF⊥AC．
又∵AB=6cm，OF=OB=2cm，
∴AO=4cm，
∴AO=2OF，
∴∠A=30°．

點評：本題考查了切線的判定與性質，等腰三角形的性質．常見的輔助線的：
①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．