Question

【題目】已知菱形ABCD的邊長為5，∠DAB=60°．將菱形ABCD繞著A逆時針旋轉得到菱形AEFG，設∠EAB=α，且0°＜α＜90°，連接DG、BE、CE、CF．

（1）如圖（1），求證：△AGD≌△AEB；

（2）當α=60°時，在圖（2）中畫出圖形并求出線段CF的長；

（3）若∠CEF=90°，在圖（3）中畫出圖形并求出△CEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5 ；（3）

【解析】試題分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）證明△AGD≌△AEB即可；

（2）當α=60°時，AE與AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，繼而求出CF的長；

（3）當∠CEF=90°時，延長CE交AG于M，連接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的長，又EC=MC﹣ME．在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的長即可．

試題解析：解：（1）∵菱形ABCD繞著點A逆時針旋轉得到菱形AEFG，∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．∵四邊形AEFG是菱形，∴AD=AB，∴AG=AE，∴△AGD≌△AEB．

（2）解法一：如圖（1），當α=60°時，AE與AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，∴∠CDH=∠CDF=60°，CH=CF．

在Rt△CDH中，∵CH=DCsin60°=5×=，∴CF=2CH=5．

解法二：如圖（1），當α=60°時，AE與AD重合，連接AF、AC、BD、AC與BD交于點O．

由題意，知AF=AC，∠FAC=60°，∴△AFC是等邊三角形，∴FC=AC．

由已知，∠DAO=∠BAD=30°，AC⊥BD，∴AO=ADcos30°=，∴AC=2AO=5，∴FC=AC=5．

（3）如圖（2），當∠CEF=90°時，延長CE交AG于M，連接AC．

∵四邊形AEFG是菱形，∴EF∥AG．

∵∠CEF=90°，∴∠GME=90°，∴∠AME=90°．

在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，∴AM=AEcos60°=，EM=AEsin60°=．

在Rt△AMC中，易求AC=5，∴MC==，∴EC=MC﹣ME=﹣（﹣），∴S△CEF=ECEF=．