Question

【題目】將一矩形紙片OABC 放在平面直角坐標系中， O(0，0) ， A(6，0) ， C(0，3) .動點Q 從點O 出發以每秒 1 個單位長的速度沿OC 向終點C 運動，運動秒時，動點 P 從點A 出發以相等的速度沿 AO 向終點O 運動。當其中一點到達終點時，另一點也停止運動。設點 P 的運動時間為t （秒）.

（1）用含t 的代數式表示OP，OQ ；

（2）當t 1時，如圖 1，將△OPQ 沿 PQ 翻折，點O 恰好落在CB 邊上的點 D 處，求點 D 的坐標；

（3）連結 AC ，將△OPQ 沿 PQ 翻折，得到△EPQ ，如圖 2.問： PQ 與 AC 能否平行？ PE 與 AC 能否垂直？若能，求出相應的t 值；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） OP 6 t ， OQ t （2）D(1，3)；（3）① PQ 能與 AC 平行，t ，② PE 不能與 AC 垂直，理由見解析.

【解析】

(1)由O(0,0)，A(6,0)，C(0,3)，可得：OA=6，OC=3，根據矩形的對邊平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，進而可得點B的坐標為：(6,3)，然后根據P點與Q點的運動速度與運動時間即可用含t的代數式表示OP，OQ；

(2)由翻折的性質可知：△OPQ≌△DPQ，進而可得：DQ=OQ，然后由t=1時，DQ=OQ=，CQ=OCOQ=，然后利用勾股定理可求CD的值，進而可求點D的坐標；

（3）① PQ 能與 AC 平行。若 PQ ∥ AC ，得到，t ；② PE 不能與 AC 垂直。若 PE AC ，延長QE 交OA 于 F，得到，t 3.45 ，即可解答

（1）∵O(0,0)，A(6,0)，C(0,3)，

∴OA=6，OC=3，

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB=OC=3，BC=OA=6，

∴B(6,3)，

∵動點Q從O點以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動23秒時，動點P從點A出發以相等的速度沿AO向終點O運動．

∴當點P的運動時間為t(秒)時，

AP=t，OQ t ，

則OP=OAAP=6t；

（2）當t 1時，過 D 點作 DD1 OA ，交OA 于 D1 ，如圖 1，

則 DQ QO=， QC ,

CD 1 ， D(1，3)

（3）① PQ 能與 AC 平行.若 PQ ∥ AC ，如圖 2，

則,

即，

t ，而0 ≤ t ≤ ，

t ，

② PE 不能與 AC 垂直。

若 PE AC ，延長QE 交OA 于 F ，如圖 3，

QF ，

EF QF QE QF OQ (t - (t =(

又Rt△EPF ∽ Rt△OCA ，

，

t 3.45 .

而0 ≤ t ≤.

∴ t 不存在.