Question

【題目】如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN，MC交于點E，直線BM，CN交于點F．

（1）求證：AN=MB；
（2）求證：△CEF為等邊三角形；
（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在（2）中畫出符合要求的圖形，并判斷（1）（2）題中的兩結論是否依然成立．并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，

在△CAN和△MCB中，

，

∴△CAN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM

（2）證明：∵△CAN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB，

又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE，

在△CAE和△CMF中，

，

∴△CAE≌△CMF（ASA），

∴CE=CF，

∴△CEF為等腰三角形，

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF為等邊三角形

（3）解：連接AN，BM，

∵△ACM、△CBN是等邊三角形，

∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴AN=MB．

當把MC逆時針旋轉90°后，AC也旋轉了90°，因此∠ACB=90°，很顯然∠FCE＞90°，因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形，

即結論1成立，結論2不成立．

【解析】（1）可通過全等三角形來得出簡單的線段相等，證明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，這兩個三角形中，已知的條件有AC=MC，NC=CB，只要證明這兩組對應邊的夾角相等即可，我們發現∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角，因此它們都是120°，這樣就能得出兩三角形全等了．也就證出了AN=BM．（2）我們不難發現∠ECF=180﹣60﹣60=60°，因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形，可從EC，CF入手，由（1）的全等三角形我們知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此時三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我們再根據∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等邊三角形的結論．（3）判定結論1是否正確，也是通過證明三角形ACN和BCM來求得．這兩個三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等，AN=BM，結論1正確．如圖，當把MC逆時針旋轉90°后，AC也旋轉了90°，因此∠ACB=90°，很顯然∠FCE＞90°，因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形．