Question

閱讀理解
對于任意正實數a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a+b-2

ab

≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

只有當a=b時，a+b有最小值2

p

．
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當m=

 

時，m+

1

m

有最小值

 

．
（2）探索應用
如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），P為雙曲線y=

6

x

（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

（3）實踐應用
建筑一個容積為800m³，深為8m的長方體蓄水池，池壁每平方米造價為80元，池底每平方米造價為120元，如何設計池底的長、寬，使總造價最低？

Answer 1

分析：（1）根據題目給出的結論，可知當m=

1

m

，即m=1（m＞0）時，m+

1

m

有最小值；
（2）若設P（x，

6

x

），則S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

3

2

（x+

4

x

）+6，利用題目給出的結論，可知當x=

4

x

，即x=2（x＞0）時，S_{四邊形ABCD}有最小值，并求出各邊長度，從而判斷四邊形ABCD的形狀；
（3）根據長方體的體積公式，可知此長方體蓄水池的底面積為100m²，如果設池底的一邊為xm，那么另一邊為（

100

x

）m，根據長方體的表面積公式列出總造價y與x的函數關系式，再利用題目給出的結論，求出結果．

解答：解：（1）閱讀理解：1（寫

1

m

不扣分），2（2分）

（2）探索應用：
設P（x，

6

x

），則C（x，0），D（0，

6

x

），（4分）
∴CA=x+2，DB=

6

x

+3，（5分）
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+2）（

6

x

+3）=

3

2

（x+

4

x

）+6（6分）
∵x＞0∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

即x+

4

x

≥4，∴x+

4

x

有最小值4，
此時

3

2

（x+

4

x

）+6有最小值12．
只有當x=

4

x

時，即x=2時，等號成立．
∴四邊形ABCD面積的最小值為12．（7分）
此時，P（2，3），C（2，0），D（0，3），AB=BC=CD=DA=

13

，
∴四邊形ABCD是菱形．（8分）

（3）實踐應用：
設池底的一邊為xm，另一邊為（

100

x

）m，
根據題意得y=80×2×（x+

100

x

）×8+12000=1280（x+

100

x

）+12000
當x=

100

x

即x=10時，x+

100

x

≥2

x• 100 x

即x+

100

x

≥20，
此時x+

100

x

有最小值20，y有最小值37600元．
池底一邊為10m時，使總造價最低．（10分）

點評：本題考查了學生的閱讀理解能力與分析、解決實際問題的能力，是近幾年中考的熱點．透徹理解及靈活運用題目給出的結論是解決本題的關鍵．