Question

如圖18-1所示，已知二次函數與x軸分別交于點A（2，0）、

B（4，0），與y軸交于點C（0，-8t）（t＞0）

1.求a、c的值及拋物線頂點D的坐標（用含t的代數式表示）；

2.如圖18-1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數t的值；

3.如圖18-2，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，－4）、（4，－3），邊HG位于邊EF的右側．若點P是邊EF或邊FG上的任意一點（不與E、F、G重合），請你說明以PA、PB、PC、PD的長度為邊長不能構成平行四邊形；

4.將（3）中的正方形EFGH水平移動，若點P是正方形邊FG或EH上任意一點，在水平移動過程中，是否存在點P，使以PA、PB、PC、PD的長度為邊長構成平行四邊形，其中PA、PB為對邊．若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.把點A、C的坐標（2，0）、（0，－8t）代人拋物線y=ax²－6ax+c得，

，解得  ，                 ……………………2分

該拋物線為y=x²+6tx－8t=（x－3）² + t．

∴頂點D坐標為（3，t）                              ……………………3分

2.如圖9，設拋物線對稱軸與x軸交點為M，則AM＝1．

由題意得：O′A=OA=2．

∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．

∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                         

∴在Rt△OAC中：

∴OC=，

即．∴．        …………………6分

3.①如圖10所示，設點P是邊EF上的任意一點

（不與點E、F重合），連接PM．

∵點E（4，－4）、F（4，－3）與點B（4，0）在一直線上，

點C在y軸上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．        …………………8分

②設P是邊FG上的任意一點(不與點F、G重合)，

∵點F的坐標是（4，－3），點G的坐標是（5，－3）．

∴FB＝3，，∴3≤PB≤．

∵PC >4，∴PC >PB．

∴PB≠PA，PB≠PC．

∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．        …………………9分

4.t=或或1．                              …………………12分

解析:

因為已知PA、PB為平行四邊形對邊，∴必有PA＝PB．

①假設點P為FG與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．

如圖11所示，只有當PC＝PD時，線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．

∵點C的坐標是（0，－8t），點D的坐標是（3， t），

又點P的坐標是（3，－3），

∴PC²＝3²＋(－3+8t)²，PD²＝(3＋t)²．

當PC＝PD時，有PC² =PD²

即 3²＋(－3+8t)²=(3＋t)²．

整理得7t²－6t＋1＝0，

∴解方程得t=>0滿足題意．

②假設當點P為EH與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．

如圖12所示，只有當PC＝PD時，線段PA、PB、PC、PD

能構成一個平行四邊形．

∵點C的坐標是（0，－8t），點D的坐標是（3， t），

點P的坐標是（3，－4），

∴PC²＝3²＋(－4+8t)²，PD²＝(4＋t)²．

當PC＝PD時，有PC² =PD²

即 3²＋(－4+8t)²=(4＋t)²

整理得7t²－8t＋1＝0，

∴解方程得t =或1均大于>0滿足題意．

綜上所述，滿足題意的t=或或1．