Question

如圖18-1所示，已知二次函數與x軸分別交于點A（2，0）、
B（4，0），與y軸交于點C（0，-8t）（t＞0）
【小題1】求a、c的值及拋物線頂點D的坐標（用含t的代數式表示）；
【小題2】如圖18-1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數t的值；
【小題3】如圖18-2，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，－4）、（4，－3），邊HG位于邊EF的右側．若點P是邊EF或邊FG上的任意一點（不與E、F、G重合），請你說明以PA、PB、PC、PD的長度為邊長不能構成平行四邊形；
【小題4】將（3）中的正方形EFGH水平移動，若點P是正方形邊FG或EH上任意一點，在水平移動過程中，是否存在點P，使以PA、PB、PC、PD的長度為邊長構成平行四邊形，其中PA、PB為對邊．若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】把點A、C的坐標（2，0）、（0，－8t）代人拋物線y=ax²－6ax+c得，
，解得 ，                 ……………………2分
該拋物線為y=x²+6tx－8t=（x－3）² + t．
∴頂點D坐標為（3，t）                              ……………………3分
【小題2】如圖9，設拋物線對稱軸與x軸交點為M，則AM＝1．

由題意得：O′A=OA=2．
∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．
∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                         
∴在Rt△OAC中：
∴OC=，
即．∴．       …………………6分
【小題3】①如圖10所示，設點P是邊EF上的任意一點

（不與點E、F重合），連接PM．
∵點E（4，－4）、F（4，－3）與點B（4，0）在一直線上，
點C在y軸上，
∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．
又PD>PM>PB，PA>PM>PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．       …………………8分
②設P是邊FG上的任意一點(不與點F、G重合)，
∵點F的坐標是（4，－3），點G的坐標是（5，－3）．
∴FB＝3，，∴3≤PB≤．
∵PC >4，∴PC >PB．
∴PB≠PA，PB≠PC．
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．       …………………9分
【小題4】t=或或1．                              …………………12分

解析因為已知PA、PB為平行四邊形對邊，∴必有PA＝PB．
①假設點P為FG與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．
如圖11所示，只有當PC＝PD時，線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．

∵點C的坐標是（0，－8t），點D的坐標是（3， t），
又點P的坐標是（3，－3），
∴PC²＝3²＋(－3+8t)²，PD²＝(3＋t)²．
當PC＝PD時，有PC² =PD²
即3²＋(－3+8t)²=(3＋t)²．
整理得7t²－6t＋1＝0，
∴解方程得t=>0滿足題意．
②假設當點P為EH與對稱軸交點時，存在一個正數t，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．
如圖12所示，只有當PC＝PD時，線段PA、PB、PC、PD

能構成一個平行四邊形．
∵點C的坐標是（0，－8t），點D的坐標是（3， t），
點P的坐標是（3，－4），
∴PC²＝3²＋(－4+8t)²，PD²＝(4＋t)²．
當PC＝PD時，有PC² =PD²
即3²＋(－4+8t)²=(4＋t)²
整理得7t²－8t＋1＝0，
∴解方程得t =或1均大于>0滿足題意．
綜上所述，滿足題意的t=或或1．