Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．
（1）請用含t的代數式表示出點D的坐標；
（2）求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少？
（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長．

Answer 1

（1）∵點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設CP的中點為F，
則F點的坐標為（

t

2

，1），
∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，其坐標為（t+1，

t

2

）；

（2）∵D點坐標為（t+1，

t

2

），OA=4，
∴S_△DPA=

1

2

AP×

t

2

=

1

2

（4-t）×

t

2

=

1

4

（4t-t²）=-

1

4

（t-2）²+1，
∴當t=2時，S_最大=1；

（3）能構成直角三角形．
①當∠PDA=90°時，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當∠PAD=90°時，此時點D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形．

（4）∵根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2

5

，
∴點D運動路線的長為2

5

．