Question

【題目】如圖，P是正方形ABCD對角線AC上一點，點E在BC上，且PE=PB．

（1）求證：PE=PD；

（2）連接DE，試判斷∠PED的度數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠PED=45°，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質四條邊都相等可得BC=CD，對角線平分一組對角線可得∠ACB=∠ACD，然后利用“邊角邊”證明△PBC和△PDC全等，根據全等三角形對應邊相等可得PB=PD，然后等量代換即可得證；（2）根據全等三角形對應角相等可得∠PBC=∠PDC，根據等邊對等角可得∠PBC=∠PEB，從而得到∠PDC=∠PEB，再根據∠PEB+∠PEC=180°求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根據四邊形的內角和定理求出∠DPE=90°，判斷出△PDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求解即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，

在△PBC和△PDC中，

，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴PB=PD，

∵PE=PB，

∴PE=PD；

（2）判斷∠PED=45°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△PBC≌△PDC，

∴∠PBC=∠PDC，

∵PE=PB，

∴∠PBC=∠PEB，

∴∠PDC=∠PEB，

∵∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PDC+∠PEC=180°，

在四邊形PECD中，∠EPD=360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD=360°﹣180°﹣90°=90°，

又∵PE=PD，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴∠PED=45°．