Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A，B分別在x，y軸上，已知OA＝3，點D為y軸上一點，其坐標為（0，1），CD＝5，點P從點A出發以每秒1個單位的速度沿線段A﹣C﹣B的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒

（1）求B，C兩點坐標；

（2）①求△OPD的面積S關于t的函數關系式；

②當點D關于OP的對稱點E落在x軸上時，求點E的坐標；

（3）在（2）②情況下，直線OP上求一點F，使FE+FA最小．

Answer 1

【答案】（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的長度就是AF+EF的最小值，則點F即為所求

【解析】

（1）由四邊形OACB是矩形，得到BC＝OA＝3，在Rt△BCD中，由勾股定理得到BD＝ ＝4，OB＝5，從而求得點的坐標；

（2）①當點P在AC上時，OD＝1，BC＝3，S＝，當點在BC上時，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，得到S＝×1×（8﹣t）＝﹣ t+4；

②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，得到點D的對稱點是（1，0），求得E（1，0）；

（3）由點D、E關于OP對稱，連接AD交OP于F，找到點F，從而確定AD的長度就是AF+EF的最小值，在Rt△AOD中，由勾股定理求得AD＝ ，即AF+EF的最小值＝．

解：（1）∵四邊形OACB是矩形，

∴BC＝OA＝3，

在Rt△BCD中，∵CD＝5，BC＝3，

∴BD＝ ＝4，

∴OB＝5，

∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①當點P在AC上時，OD＝1，BC＝3，

∴S＝，

當點在BC上時，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，

∴S＝ ×1×（8﹣t）＝﹣ t+4；（t≥0）

②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，點D的對稱點是（1，0），

∴E（1，0）；

（3）如圖2∵點D、E關于OP對稱，連接AD交OP于F，

則AD的長度就是AF+EF的最小值，則點F即為所求．

故答案為：（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的長度就是AF+EF的最小值，則點F即為所求