Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線解析式及點D坐標；

（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；

（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應點為Q′．是否存在點P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2+x+2；D(3，2)；(2)、P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）；(3)、（，），（﹣，）

【解析】

試題分析：(1)、用待定系數法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點D的坐標；(2)、分兩種情況進行討論，①當AE為一邊時，AE∥PD，②當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點P坐標；(3)、結合圖形可判斷出點P在直線CD下方，設點P的坐標為（a，﹣ a2+a+2），分情況討論，①當P點在y軸右側時，②當P點在y軸左側時，運用解直角三角形及相似三角形的性質進行求解即可．

試題解析：(1)、∵拋物線y=ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，∴，

解得：∴y=﹣x2+x+2；當y=2時，﹣ x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍去），

即：點D坐標為（3，2）．

(2)、A，E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：

①當AE為一邊時，AE∥PD， ∴P1（0，2），

②當AE為對角線時，根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，

可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，

∴P點的縱坐標為﹣2， 代入拋物線的解析式：﹣ x2+x+2=﹣2 解得：x1=，x2=，

∴P點的坐標為（，﹣2），（，﹣2）

綜上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）．

(3)、存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方，設直線PQ交x軸于F，點P的坐標為（a，﹣ a2+a+2），

①當P點在y軸右側時（如圖1），CQ=a，PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，∴Q′F=a﹣3，

∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，

此時a=，點P的坐標為（，），

②當P點在y軸左側時（如圖2）此時a＜0，﹣ a2+a+2＜0，CQ=﹣a，

PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，∴OQ′=3，

CQ=CQ′==，此時a=﹣，點P的坐標為（﹣，）．

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（，），（﹣，）．