Question

如圖，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P（a，b）是反比例函數y=

1

2x

在第一象限內圖象上的一動點，PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F，分別交線段AB于M、N
（1）點P在運動過程中，四邊形OEPF能否為正方形？若能求出此時點P的坐標和∠MON度數，若不能，請說明理由．
（2）點P在運動過程中，AN•BM的值是否發生變化？若不變，求出AN•BM的值；若變化，求出AN•BM的值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質以及反比例函數的性質得出ab=

1

2

，進而得出a的值，即可得出P點坐標，再利用旋轉的性質以及直線上點的坐標特點得出M，N的坐標，再利用全等三角形的性質得出∠MON=∠MON'=

1

2

∠AOB=45°．
（2）利用已知一次函數解析式得出A，B坐標，進而得出△OAB的形狀，進而得出AN=

2

ND=

2

b，BM=

2

MC=

2

a，再利用反比例函數的性質得出即可．

解答：解：（1）當a=b時，四邊形OEPF是正方形，
則ab=

1

2

，故a²=

1

2

，
∵a＞0，
∴解得：a=

2

2

，
∴P（

2

2

，

2

2

），
∵M，N是直線y=-x+1上的兩點，OE=

2

2

，
∴ME=y=-

2

2

+1=

2- 2

2

，

2

2

=-x+1，則FN=x=1-

2

2

=

2- 2

2

，
∴M（

2

2

，

2- 2

2

），N（

2- 2

2

，

2

2

），
將△OEM繞O逆時針旋轉90°到△OFM'，
則NM'=FM'+FN=2FN=2-

2

，
PM=PE-ME=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
PN=FP-FN=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
∴MN=

PM2+PN2

=

(2- 2 )2

=2-

2

，
∴NM'=MN，
在△ONM和△ONM'中，

NO=NO OM=OM′ MN=M′N

，
∴△ONM≌△ONM'（SSS），
∴∠MON=∠MON'=

1

2

∠AOB=45°；

（2）過M作MC⊥y軸于C，過N作ND⊥x軸于D，
∵直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴y=0時，x=1，x=0時，y=1，
∴A點坐標為：（1，0），B點坐標為：（0，1），
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AN=

2

ND=

2

b，BM=

2

MC=

2

a，
∵P（a，b）是反比例函數y=

1

2x

在第一象限內圖象上的一動點，
∴2xy=1，則2ab=1，
∴AN•BM=2ab=1．
∴AN•BM為定值．

點評：此題主要考查了反比例函數綜合應用以及全等三角形的性質與判定和正方形的性質等知識，利用已知圖形表示出AN，BM的長是解題關鍵．