Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（0，2），在x軸上任取一點M，連接AM，作AM的垂直平分線l1．過點M作x軸的垂線l2，l1與l2交于點P．設P點的坐標為（x，y）．

（Ⅰ）當M的坐標取（3，0）時，點P的坐標為　 　；

（Ⅱ）求x，y滿足的關系式；

（Ⅲ）是否存在點M，使得△MPA恰為等邊三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（3，）；（Ⅱ）x，y滿足的關系式是y=x2+1；（Ⅲ）△MPA為等邊三角形時，點M的坐標為（2，0）或（﹣2，0）．

【解析】分析：（Ⅰ）作AN⊥PM于N，根據線段垂直平分線的性質得到PA=PM，根據勾股定理計算；

（Ⅱ）分點M在x軸的正半軸上、點M在x軸的負半軸上兩種情況，根據勾股定理列式計算；

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，PA=PM，設點M的坐標為（0，x），根據勾股定理列方程求出x的值．

詳解：（Ⅰ）作AN⊥PM于N，

則四邊形AOMN是矩形，

∴AN=OM=3，MN=OA=2，

∵l1是AM的垂直平分線，

∴PA=PM，

在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即32+（y﹣2）2=y2，

解得，y=，

∴點P的坐標為（3，），

故答案為：（3，）；

（Ⅱ）當點M在x軸的正半軸上時，

在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即x2+（y﹣2）2=y2，

解得，y=x2+1，

同理，當點M在x軸的負半軸上時，x，y滿足的關系式是y=x2+1，

∴x，y滿足的關系式是y=x2+1；

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，PA=PM，

要使△MPA為等邊三角形，只需MA=MP即可，

∵點A的坐標為（0，2），點M的坐標為（0，x），

∴AM=，

則x2+1=，

解得，x=±2，

∴△MPA為等邊三角形時，點M的坐標為（2，0）或（﹣2，0）．