Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂內切于點P．⊙O₂的弦AB切⊙O₁于點C，連接PA、PB，PC的延長線交⊙O₂于點D．求證：（1）∠APC=∠BPC；
（2）PC²+AC•BC=PA•PB．

Answer 1

證明：①過點P作兩圓公切線MN，連接EC，AD，
則∠MPA=∠PCE=∠D．
∴EC∥AD．
∴∠ACE=∠CAD．
∵AB是⊙O₁的切線，
∴∠ACE=∠APC．
∵∠CAD=∠BPC，
∴∠APC=∠BPC．

②∵∠APC=∠BPC，∠B=∠D，
∴△PBC∽△PDA，
∴PB：PD=PC：PA，
∴PB•PA=PC•PD=PC（PC+CD）=PC²+PC•CD，
∵PC•PD=AC•BC，
∴PC²+AC•BC=PA•PB．