Question

如圖，平面直角坐標系中，直線y＝－x＋8分別交x軸、y軸于點B、點A，點D從點A出發沿射線AB方向以每秒1個單位長的速度勻速運動，同時點E從點B出發沿射線BC方向以每秒個單位長的速度勻速運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥AO于點F，連接DE、EF.

（1）當t為何值時，△BDE與△BAO相似；
（2）寫出以點D、F、E、O為頂點的四邊形面積s與運動時間t之間的函數關系；
（3）是否存在這樣一個時刻，此時以點D、F、E、B為頂點的四邊形是菱形，如果存在，求出相應的t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）5或；（2）s＝＝24－（0＜t≤10），s＝（t＞10）；（3）或25s時

試題分析：（1）由直線y＝－x＋8分別交x軸、y軸于點B、點A，可得OB＝6，OA＝8，則可得AD＝t，BE＝t，BD＝10－t，由△BDE與△BAO具有公共角∠ABO可得當或時兩三角形相似，即可求得結果；
（2）①當點D在線段AB上時，先證得△ADF∽△ABO，根據相似三角形的性質可得四邊形DFEB為平行四邊形，根據平行四邊形的性質求解即可；②當點D在AB的延長線上時，四邊形OEFD為梯形，
根據梯形的面積公式求解即可；
（3）分①當點D在線段AB上時，②當點D在AB的延長線上時，證得四邊形DFEB為平行四邊形，根據平行四邊形的性質及菱形的判定分析即可.
（1）∵直線y＝－x＋8分別交x軸、y軸于點B、點A，
∴OB＝6，OA＝8，
則AD＝t，BE＝t，BD＝10－t，
∵△BDE與△BAO具有公共角∠ABO．
∴當或時兩三角形相似．
即或，解得t＝5或．
∴當t為5或時，△BDE與△BAO相似．
（2）①當點D在線段AB上時，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF∶BO＝AD∶AB＝AF∶OA，∴DF＝，AF＝，
∴BE＝DF，∴四邊形DFEB為平行四邊形，S_△DEF＝S_△BEF＝S_DFEB,
∴四邊形OFDE的面積等于△BOF的面積，
∴s＝BO·OF＝×6×(8－)＝24－（0＜t≤10）．
②當點D在AB的延長線上時，四邊形OEFD為梯形，
s＝(OE＋DF)·OF＝×(－6＋)×＝（t＞10）
（3）①當點D在線段AB上時，已知四邊形DFEB為平行四邊形，只需保證BD＝BE，即可保證四邊形DFEB是菱形，即10－t＝，解得t＝．
②當點D在AB的延長線上時，易證四邊形BEFD為平行四邊形，只需保證BD＝BE，即可保證四邊形DFEB是菱形，即t－10＝，解得t＝25．
綜上所述，當t的值為或25時，以點D、F、E、B為頂點的四邊形是菱形．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．