Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為AC上一動點．

（1）如圖1，點E、點F均是射線BD上的點并且滿足AE＝AF，∠EAF＝90°．求證：△ABE≌△ACF；

（2）在（1）的條件下，求證：CF⊥BD；

（3）由（1）我們知道∠AFB＝45°，如圖2，當點D的位置發生變化時，過點C作CF⊥BD于F，連接AF．那么∠AFB的度數是否發生變化？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）∠AFB＝45°不變化，理由詳見解析.

【解析】

（1）易得∠BAE＝∠CAF，由已知AB＝AC、AE＝AF，可得△ABE≌△ACF；

（2）由題意得∠ABE+∠BDA＝90°，由（1）得∠ABE＝∠ACF，又∠BDA＝∠CDF，可得答案；

(3) ∠AFB＝45°不變化，理由如下：過點A作AF的垂線交BM于點E，可證得△ABE≌△ACF，可得AE＝AF，△AEF是等腰直角三角形，∠AFB＝45°．

（1）∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°

∴∠BAE＝∠CAF

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF（SAS）

（2）∵∠BAC＝90°

∴∠ABE+∠BDA＝90°，

由（1）得△ABE≌△ACF

∴∠ABE＝∠ACF

∴∠BDA+∠ACF＝90°

又∵∠BDA＝∠CDF

∴∠CDF+∠ACF＝90°

∴∠BFC＝90°

∴CF⊥BD

（3）∠AFB＝45°不變化，理由如下：

過點A作AF的垂線交BM于點E

∵CF⊥BD

∴∠BAC＝90°

∴∠ABD+∠BDA＝90°

同理∠ACF+∠CDF＝90°

∵∠CDF＝∠ADB

∴∠ABD＝∠ACF

同（1）理得∠BAE＝∠CAF

在△ABE和△ACF中

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴AE＝AF

∴△AEF是等腰直角三角形

∴∠AFB＝45°．