Question

【題目】如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是（ ）
A.2
B.4
C.4
D.8

Answer 1

【答案】C
【解析】解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，

∵∠AMB=45°，

∴∠AOB=2∠AMB=90°，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴AB= OA=2 ，

∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，

∴當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，

即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，

此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB= ABCD+ ABCE= AB（CD+CE）= ABDE= ×2 ×4=4 ．

故選C．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．