Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，將線段BC繞點C順時旋轉90°得到線段CD，連接AD.

(1)說明△ACD的形狀，并求出△ACD的面積;

(2)把等腰直角三角板按如圖2的方式擺放，頂點E在CB邊上，頂點F在DC的延長線上，直角頂點與點C重合.從A，B兩題中任選一題作答：

A .如圖3，連接DE，BF,

①猜想并證明DE與BF之間的關系；②將三角板繞點C逆時針旋轉α(0°＜α＜90°)，直接寫出DE與BF之間的關系.

B .將圖2中的三角板繞點C逆時針旋轉α(0＜α＜360°)，如圖4所示，連接BE，DF，連接點C與BE的中點M,

①猜想并證明CM與DF之間的關系；②當CE＝1，CM＝時，請直接寫出α的值.

Answer 1

【答案】（1）△ACD是等腰三角形，；（2）A①DE=BF，DE⊥BF，見解析；②DE=BF，DE⊥BF.

【解析】

（1）過點A作AE⊥CD于點E，則∠AEC=∠AED=90°.可證四邊形ABCE是矩形，從而AE=BC=2，AB=CE=1，可得AE垂直平分CD，從而△ACD是等腰三角形；再根據三角形的面積公式計算即可；

（2）A.①根據“SAS”可證△BCF≌△DCE，從而DE=BF，∠CBF=∠CDE，延長DE交BF于點H，由∠DEC+∠CDE=90°，可證∠BEH+∠CBF=90°，所以∠BHE=90°，即DE⊥BF；

②證明方法同①；

B. ①延長MC交DF于點N，延長CM至點G，使CM=MG，連接EG，根據“SAS”證明△MEG≌△MBC，從而BC=GE， BC∥GE，然后再證明△ECG≌△CFD，可得CG=DF，∠ECG=∠CFD，進而可證明結論成立；

②作FH⊥DC，交DC的延長線與點H，設FH=x，CH=y.由勾股定理列方程組求出x與y的值，根據含30°角的直角三角形的性質可知∠FCH =30°，進而可求α=60°或300°.

△ACD是等腰三角形，理由如下：

過點A作AE⊥CD于點E，則∠AEC=∠AED=90°.

又∵∠ABC＝90°，∠BCE=90°，

∴四邊形ABCE是矩形，∴AE=BC=2，AB=CE=1，∴CD=1，

∴AE垂直平分CD，∴AC=AD，

∴△ACD是等腰三角形，

；

(2)A:

①DE=BF，DE⊥BF.理由如下：

由旋轉可知，BC=CD=2,∠BCD=90°，

∵等腰直角△CEF頂點E在CB邊上，頂點F在DC的延長線上，

∴CE=CF，∠BCF=∠DCE=90°.

在△BCF和△DCE中，BC=DC，∠BCF=∠DCE，CF=CE，

∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，

延長DE交BF于點H，

∵∠DEC+∠CDE=90°，∠DEC=∠BEH，∴∠BEH+∠CBF=90°，

∴∠BHE=90°，∴DE⊥BF；

②DE=BF，DE⊥BF.證明方法同①；

B:①CM=DF，CM⊥DF.理由如下：

延長MC交DF于點N，延長CM至點G，使CM=MG，連接EG，

∵M是BE的中點，∴ME=MB.

在△MEG和△MBC中，ME=MB，∠EMG=∠BMC，MG=MC，

∴△MEG≌△MBC(SAS)，∴CM=MG=CG，BC=GE， BC∥GE，

∵BC=CD，∴EG=CD.

由旋轉得∠BCE=α，

∵BC∥GE，∴∠CEG=180°-α，

∵∠DCF=360°-∠ECF-∠BCE-∠BCD=180°-α，

∴∠CEG=∠DCF，

在△ECG和△CFD中，CE=CF，∠CEG=∠DCF，∠CEG=∠DCF，

∴△ECG≌△CFD(SAS)，∴CG=DF，∠ECG=∠CFD，

∵MG=MC，∴MC=DF ，

∵∠ECF=90°，∴∠ECG+∠FCN=∠FCD+∠FCN=90°，

∴∠CNF=90°，∴DE⊥BF；

②作FH⊥DC，交DC的延長線與點H，設FH=x，CH=y.

∵CM=，∴DF=CG=，

∴，解之得.

∴FH=CF,

∴∠FCH =30°，∴∠FCD=120°，∴∠BCE=60°，

∴α=60°或300°.