Question

【題目】思維啟迪：

（1）如圖1，，兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量，間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達點的點，連接，取的中點（點可以直接到達點），利用工具過點作交的延長線于點，此時測得，那么，間的距離是______．

思維探索：

（2）在和中，，，且，．將繞點順時針旋轉，把點在邊上時的位置作為起始位置（此時點和點位于的兩側），設旋轉角為，連接，點是線段的中點，連接，．

①如圖2，當在起始位置時，猜想：與的數量關系和位置關系分別是_______；_______．

②如圖3，當，點落在邊上，請判斷與的數量關系和位置關系，并證明你的結論．

③當時，若，，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）200；（2）①，；②，，證明見解析；③．

【解析】

（1）證明即可得到答案；

（2）①延長EP交BC于F，證明可得是等腰直角三角形，即可證明PC=PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE、CF，證明 ，結合已知得BF=DE=AE，再證明，可得是等腰直角三角形，即可證明PC=PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE、CF，過E點作EH⊥AC交CA延長線于H點，由旋轉旋轉可知，∠CAE=150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，得∠FBC=∠EAC，同②可證可得PC=PE，PC⊥PE，再由已知解三角形求解，即可求出

解：（1）為的中點，

故答案為：

（2）①PC與PE的數量關系和位置關系分別是，．

理由如下：如圖，延長EP交BC于F，

為的中點，

∴（AAS），

∴PF=PE，BF=DE，

又∵AC=BC，AE=DE，

∴FC=EC， 又∵∠ACB=90°，

∴是等腰直角三角形，

∵EP=FP，

∴PC=PE，PC⊥PE．

故答案為：

②，．

證明如下：如圖，過點作交延長線于點，連接，．

，

點是線段的中點，

，

，

，

，．

，

．

，

，．

又，

．

，

，

．

在中，

，，

．

③如圖，作BF∥DE，交EP延長線于點F，

連接CE、CF，過E點作EH⊥AC交CA延長線于H點，

當α=150°時，由旋轉旋轉可知，∠CAE=150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，

∴∠FBC=∠EAC=α=150°，

同②可得（AAS），

同②可得

同②可得是等腰直角三角形，

CP⊥EP，CP=EP=

在中，∠EAH=30°，AE=DE=1，

∴HE=，AH=

又∵AC=BC=3，

∴CH=

∴

∴