Question

【題目】（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是_____________________；

（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）結論應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）EF=BE+DF仍然成立；（3）210海里．

【解析】

（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后與（2）同理可證．

解：（1）EF=BE+DF

（2）EF=BE+DF仍然成立

證明如下：延長FD到G，使DG=BE，

連接AG，如圖2

∵∠B+∠ADC=180°

∠ADC+∠ADG=180°

∴∠B=∠ADG

在△ABE和△ADG中

∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG

∵∠EAF=∠BAD

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BAD

∴∠EAF=∠GAF

在△AEF和△GAF中

∴△AEF≌△AGF（SAS）

∴EF=FG

∵FG=DG+DF

∴EF=BE+DF

(3)如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C

由題意得：∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°

∴∠EOF=∠AOB

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°

∴符合(2)的條件

∴結論EF=AE+BF成立

∴ EF=1.5×（60+80）=210海里

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．