Question

某織布廠有工人200名，為改善經營，增設了制衣項目，已知每人每天能織布30米，或利用所織布料制衣4件，制衣一件需用布1.5米；將布直接出售，每米布可獲利2元；將布制成衣出售，每件可獲利25元，且每名工人只能做一項工作．
（1）設安排x人制衣，請你寫出該工廠一天的利潤為多少元．（用含x的代數式表示）
（2）問怎么安排工人才能使這個工廠一天的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）設每日利潤T（x），x人制衣，則（200-x）人織布．
一天：（200-x）人可織布30×（200-x）米；
x人可制衣4x件，用去布6x米．則
①當6x＜30×（200-x）即x＜167（因為人數為整數，直接去整）時
T（x）=4x•25+2[30×（200-x）-6x]=28x+12000；
②當6x＞30×（200-x）即x＞166（下取整）時
T（x）=30×（200-x）÷1.5×25=100000-500x．

（2）由題（1）當x＜167時T（x）單調遞增，所以x=166時取到
此時[T（x）]max=16648
當x＞166時T（x）單調遞減，所以x=167時取到，
此時[T（x）]max=16500
經比較，x=166時利潤更大．
答：安排166人制衣，34人織布，工廠可獲最大利潤每日16624元．
分析：（1）工廠一天的利潤為織布的利潤與成衣利潤的和，分別用代數式表示出來，即可求解；
（2）根據一次函數的單調性和自變量的取值范圍就可求解．
點評：主要考查利用一次函數的模型解決實際問題的能力．要先根據題意列出函數關系式，再代數求值．解題的關鍵是要分析題意根據實際意義求解．注意要根據自變量的實際范圍確定函數的最值．注意本題要分情況討論，勿漏掉一種情況，最后綜合考慮得出結果．