Question

已知：如圖1，△OAB是邊長為2的等邊三角形，OA在x軸上，點B在第一象限內；△OCA是一個等腰三角形，OC＝AC，頂點C在第四象限，∠C＝120°．現有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止．

（1）求在運動過程中形成的△OPQ面積S與運動時間t之間的函數關系，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在OA上（點O、A除外）存在點D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標；
（3）如圖2，現有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點旋轉（0°＜旋轉角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

（1）（），（）
（2）或
（3）4

試題分析：解：（1）過點C作CD⊥OA于點D．
∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵，， ∴．
在Rt中， 
①當時，,,；
過點作于點．
在Rt中，∵，∴，
∴．
即 ．
②當時，
，．
∵，，∴．
∴．
即．
故當時，，當時，
（2）因為點C（1，-），所以OC=，假設OC=OD，則點D的坐標為
假設OD=DC，則點D的坐標為
（3）的周長不發生變化．
延長至點，使，連結．
∵，∴≌．
∴，
∴．
∴． 又∵．
∴≌．∴
∴．
∴的周長不變，其周長為4
點評：該題較為復雜，是大題中的常考題，主要考查學生分析直角坐標系幾何圖形與函數之間的聯系，圖形點的坐標表示記得所在空間的符號。